Kết quả khác Định_lý_Fermat_về_tổng_của_hai_số_chính_phương

Fermat đã thông báo về 2 kết quả khác trong một lá thư gửi cho Blaise Pascal vào ngày 25 tháng 9 năm 1654:

  • p = x 2 + 2 y 2 ⇔ p ≡ 1  or  p ≡ 3 ( mod 8 ) , {\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}\Leftrightarrow p\equiv 1{\mbox{ or }}p\equiv 3{\pmod {8}},}
  • p = x 2 + 3 y 2 ⇔ p ≡ 1 ( mod 3 ) . {\displaystyle p=x^{2}+3y^{2}\Leftrightarrow p\equiv 1{\pmod {3}}.}

Ông cũng viết:

"Nếu hai số nguyên tố mà tận cùng là 3 hoặc 7, và lớn hơn 3 một bội của 4 mà nhân với nhau, thì tích của chúng bằng tổng của một số chính phương và 5 lần một số chính phương khác".

Nói một cách khác, nếu p, q có dạng 20k + 3 hoặc 20k + 7, thì pq = x2 + 5y2. Sau này, Euler đã mở rộng thành phỏng đoán sau:

  • p = x 2 + 5 y 2 ⇔ p ≡ 1  or  p ≡ 9 ( mod 20 ) , {\displaystyle p=x^{2}+5y^{2}\Leftrightarrow p\equiv 1{\mbox{ or }}p\equiv 9{\pmod {20}},}
  • 2 p = x 2 + 5 y 2 ⇔ p ≡ 3  or  p ≡ 7 ( mod 20 ) . {\displaystyle 2p=x^{2}+5y^{2}\Leftrightarrow p\equiv 3{\mbox{ or }}p\equiv 7{\pmod {20}}.}

Khẳng định của Fermat và phỏng đoán của Euler đều được Lagrange chứng minh.